"Ik heb altijd gedacht dat het Paradijs een soort bibliotheek zou zijn" - Jorge Luis Borges

Wittgenstein on Mathematics

Zondag, 14 maart, 2021

Geschreven door: Severin Schroeder
Artikel door: Karl van Heijster

Waarom zijn wiskundige waarheden waar?

[Recensie] Al sinds de tijden van Plato inspireert wiskunde filosofen als het ultieme model van zekere kennis. En niet onterecht, want een wiskundige waarheid als ‘7 + 5 = 12’ is waar in elke tijd, op elke plaats en onder elke omstandigheid. Dit inspireerde Plato om wiskundige waarheden op te vatten als beschrijvingen van een werkelijkheid die hoger is dan de onze: de eeuwige, onveranderlijke, zuivere wereld van de Ideeën. Die metafysica is in de loop der eeuwen misschien dan wel uit de gratie gevallen, maar de filosoof kan op dit gebied op nog genoeg volgelingen rekenen, ook onder wiskundigen. Immers, als een een ‘7 + 5 = 12’ geen beschrijving is van een eeuwige waarheid, hoe verklaren we dan de noodzakelijkheid, en dus de zekerheid, ervan?

Enter Ludwig Wittgenstein (1889-1951). De filosoof staat bekend voor het doen schudden van de filosofische conceptie van taal – en dat niet één, maar twee keer, met de Tractatus Logico-Philosophicus (1921/1922) en Philosophical Investigations (1953) respectievelijk. Maar in de jaren tussen die twee meesterwerken hield Wittgenstein zich in zijn lezingen intensief bezig met de aard van wiskundige waarheden. Helaas werkte de filosoof deze gedachten nooit uit in een voor publicatie bedoelde vorm. Wie desalniettemin geïnteresseerd is in Wittgensteins reflecties op de aard van wiskunde, vindt een heldere uiteenzetting in Wittgenstein on Mathematics van Severin Schroeder, Associate Professor aan de universiteit van Reading. 

Een idee dat uiteindelijk tot wasdom kwam in de Investigations speelt in Wittgensteins wiskundige reflecties een cruciale rol: is een op het oog beschrijvende zin – neem een ‘7 + 5 = 12′ – wel een beschrijving? Kan de rol en betekenis van zo’n zin wel van haar vorm worden afgelezen? Nee, betoogt de filosoof, de betekenis van een zin moet worden gezocht in haar gebruik. Dat wil zeggen dat onze voorbeeldzin in sommige contexten inderdaad een beschrijvende functie heeft. Bijvoorbeeld: ik heb zeven appels in de ene mand en vijf in de andere, dus ik heb in totaal twaalf appels. Maar dat is nog geen wiskunde, zegt Wittgenstein, dat is een empirische toepassing van wiskunde. In dit specifieke geval beschrijft ‘7 + 5 = 12’ het aantal appels, zoals die zijn uitgesplitst over de manden. 

Maar merk op dat deze beschrijving in principe onjuist kan zijn. Het is denkbaar dat ik per mand zeven en vijf appels tel, maar toch op elf uitkom als ik de appels op één hoop gooi. (Onvoorstelbaar? Vervang de appels door eenheden vloeistoffen die chemisch op elkaar inwerken wanneer ze met elkaar vermengd worden.) In een wiskundige context is dit echter onmogelijk. ‘7 + 5 = 12’ is waar, ongeacht tijd, plaats of omstandigheid. 

Boekenkrant

Volgens Wittgenstein is dit het geval omdat die zin geen waarheid beschrijft, maar een regel uitdrukt. Wiskundige waarheden zijn vergelijkbaar (maar niet identiek aan!) talige regels als “een vrijgezel is een ongetrouwde man”. Ook die laatste zin is eeuwig waar, zou je kunnen zeggen. Maar dat is niet omdat deze een eeuwige waarheid beschrijft, dat is omdat het de regel beschrijft dat “vrijgezel” in een zin naar “ongetrouwde man” omgeschreven mag worden zonder de betekenis van de zin te veranderen. Net zo mag ‘7 + 5′ naar ’12’ worden omgeschreven.

Die opvatting is provocatief, het maakt mensenwerk van datgene wat eeuwenlang bovenmenselijk heeft geschenen. Dat maakt het een moeilijke taak Wittgensteins gedachten op dit vlak te verhelderen en te verdedigen – zonder de interne spanningen in zijn werk onder het tapijt te vegen. Want in de bovenstaande omschrijving van Wittgensteins standpunt heb ik de nadruk gelegd op wat je het “grammaticale” aspect in zijn gedachtegang kan noemen. Maar Schroeder benadrukt dat deze wordt aangevuld door een opvatting van wiskunde als calculus, die hij met name in de vroege jaren ’30 huldigde. Dit aspect is onmisbaar in zijn denken om zaken als wiskundig bewijs te kunnen duiden. Dit compliceert Wittgensteins opvattingen aanzienlijk. 

Maar eenvoudig zijn zijn opvattingen nooit geweest: de filosoof heeft nooit de diepgang van zijn analyse geofferd aan dogmatische eenvoud. Schroeder slaagt er in zijn boek echter bijzonder goed in beide aspecten op een heldere manier te verdedigen – en ze bovendien te bekritiseren daar waar nodig. Zijn uiteenzettingen van Wittgensteins visie op wiskunde als grammatica, het volgen van regels, de verhouding tussen empirie en wiskundige regels zijn uitdagend en prikkelen de filosofische verbeelding. Wie geïnteresseerd is in Wittgensteins en/of de grondslagen van wiskunde, vindt in Wittgenstein on Mathematics een boek vol gedachten die even duizelingwekkend zijn als de Ideeën van Plato.

Voor het eerst gepubliceerd op De Leesclub van Alles